Tilastollinen päättely

Luottamusväli ja luottamustaso
Otantajakauma
Luottamusvälin laskeminen
Otoksen ja perusjoukon suuruuden merkitys

Määrällisen aineiston analyysissä tehdään usein ero kuvailevan tilastoanalyysin ja tilastollisen päättelyn välillä. Kuvaileva tilastoanalyysi (descriptive statistics) pyrkii nimensä mukaan kuvailemaan ja tiivistämään jonkin määrällisen muuttujan jakaumaa tai useamman määrällisen muuttujan yhteisvaihtelua pyrkimättä kuitenkaan tekemään tulosten pohjalta yleistyksiä mihinkään laajempaan perusjoukkoon. Jos kohteena on vain yksi muuttuja, voidaan kuvailuun käyttää esimerkiksi muuttujien keskilukuja tai hajontalukuja. Useamman muuttujan tapauksessa voidaan käyttää esimerkiksi korrelaatiokertoimia kuvaamaan niiden yhteisvaihtelua.

Otantaan perustuvissa yhteiskuntatieteellisissä tutkimuksissa ei kuitenkaan olla varsinaisesti kiinnostuneita otoksesta vaan sen perusjoukon ominaisuuksista. Tällöin tarvitaan tilastollista päättelyä (inferential statistics). Tilastollisen päättelyn avulla voidaan arvioida kuinka hyvin otoksesta saadut tulokset pitävät paikkansa perusjoukossa. Kyse on siis siitä, kuinka todennäköisesti otoksen avulla saadut tulokset voidaan yleistää koko perusjoukkoa koskeviksi tuloksiksi.

Kuvitellaan esimerkiksi tilanne, jossa kyselytutkimuksen avulla pyritään kartoittamaan suomalaisten mielipiteitä siitä, pitäisikö Suomen liittyä Natoon. Otoksessa 40 % naisista ja 50 % miehistä vastasi myöntävästi kysymykseen Suomen Nato-jäsenyydestä. Varsinainen tutkimuksen mielenkiinto ei kuitenkaan ole otoksessa, vaan pyrkimys on selvittää mahdollisimman luotettavasti, kuinka suuri osuus perusjoukon (eli kaikki täysikäiset suomalaiset) naisista ja miehistä kannattaa jäsenyyttä. Tällöin keskeiseksi kysymykseksi nousee, mitä näiden otostulosten avulla voidaan päätellä yleensä Suomen naisista ja miehistä. Eroavatko miehet ja naiset perusjoukossa todella mielipiteiltään vai onko kyse vain satunnaisista otannan mukanaan tuomasta eroista? Tilastollinen päättely vastaa tällaisiin kysymyksiin.

Luottamusväli ja luottamustaso

Tilastollisen päättelyn kaksi keskeistä käsitettä ovat luottamusväli ja luottamustaso. Luottamusväli (confidence interval) kertoo millä välillä todellinen perusjoukon tunnusluvun arvo on tietyllä todennäköisyydellä. Käyttäen edelleen Nato-kyselyä esimerkkinä, voidaan kuvitella, että otoksessa 45 % kaikista vastaajista ilmoitti kannattavansa Suomen Nato-jäsenyyttä. Koska tähän lukuun vaikuttavat monet satunnaiset tekijät, emme voi suoraan päätellä, että myös perusjoukossa (kaikki täysi-ikäiset suomalaiset) vastaava osuus on täysin sama. On kuitenkin todennäköistä, että perusjoukon mielipidettä kuvaava arvo on lähellä otoksesta saatua arvoa. Voimme esimerkiksi päätellä, että 95 %:n todennäköisyydellä Nato-jäsenyyttä kannattavien ihmisten osuus perusjoukossa on välillä 40-50 %. Tätä väliä kutsutaan luottamusväliksi.

Luottamustaso (confidence level) kertoo, millä todennäköisyydellä perusjoukkoa kuvaava tunnusluku on jollain tietyllä luottamusvälillä. Esimerkiksi 95 %:n todennäköisyydellä 40-50 % suomalaisista haluaa Suomen liittyvän Natoon. Luottamustaso on tällöin 95 %:n todennäköisyys.

Luottamustaso ja luottamusväli ovat siis täysin toisiinsa sitoutuneita käsitteitä. Tieto luottamusvälistä ei ole mielekäs, jos ei ole tietoa luottamustasosta ja päinvastoin. Olennaista on, että luottamustason kasvaessa laajenee myös luottamusväli. Toisin sanoen tämä tarkoittaa siis sitä, että mitä suuremmalla varmuudella haluamme tietää, millä välillä jokin perusjoukon tunnusluku sijaitsee, sitä suurempi on luottamusväli. Jos esimerkiksi haluaisimme tietää, millä välillä suomalaisten Nato-jäsenyyden kannatus on 99 %:n luottamustasolla, luottamusväli olisi suurempi kuin 95 prosentin luottamustasolla (esimerkiksi 30-60 %). Jos olisimme valmiita tyytymään esimerkiksi 90 %:n luottamustasoon, väli voisi olla 43-47 %.

Otantajakauma

Luottamusvälin ja luottamustason ymmärtämiseksi ja laskemiseksi tarvitaan otantajakauman (sampling distribution) käsitettä. Otantajakauma on helpointa kuvailla esimerkin avulla. Kuvitellaan, että edellä esimerkkinä käytetty Nato-kysely on tehty käyttäen 1000 hengen satunnaistotosta (katso otantamenetelmät). Tämän otoksen vastaajista 45 % kannattaa Suomen Nato-jäsenyyttä. Koska tiedetään, että otokseen valintaan vaikuttavat satunnaiset tekijät, on luultavaa, että jos sama tutkimus tehtäisiin uudelleen käyttäen jälleen 1000 hengen otosta, Nato-jäsenyyden kannatus ei olisi tässä uudessa otoksessa täsmälleen sama kuin ensimmäisessä otoksessa. Oletetaan, että tässä toisessa otoksessa Nato-jäsenyyden kannatus olisi 42 %. Jos tutkimus toistettaisiin vielä kerran samankokoisella satunnaisotoksella, jäsenyyden kannatus voisi olla 46 %. Tätä prosessia voitaisiin edelleen toistaa useita kertoja ja jokaisen uuden otoksen perusteella saataisiin uusi Nato-jäsenyyden kannatusta kuvaava prosenttiluku. Näistä luvuista voidaan muodostaa uusi muuttuja, jonka jakaumaa voidaan kutsua Nato-jäsenyyden kannatuksen otantajakaumaksi.

Määritelmän muukaan otantajakauma viittaa sellaiseen tunnusluvun jakaumaan, joka saadaan ottamalla kaikki mahdolliset samankokoiset otokset perusjoukosta. Jos kiinnostuksen kohteena oleva muuttuja on Nato-jäsenyyttä kannattavien suomalaisten osuus kaikista suomalaisista ja otoksen koko on 1000 vastaajaa, saadaan Nato-kannattajien osuuden otantajakauma ottamalla kaikki mahdolliset 1000 hengen otokset suomalaisista ja kirjaamalla ylös saatu Nato-kannattajien osuus. Näiden kirjattujen kannattajalukujen jakauma on Nato-jäsenyyden kannatusta kuvaavan muuttujan otantajakauma. Viidestä miljoonasta suomalaisesta voidaan ottaa kuitenkin valtava määrä 1000 hengen otoksia. Niinpä otantajakauma on usein itse asiassa vain teoreettinen jakauma, jota ei empiirisesti yleensä pystytä määrittämään. Yleinen idea kuitenkin on, että käyttämällä tilastotieteen menetelmiä otantajakauman keskeiset piirteet pystytään saamaan selville.

Luottamusvälin laskeminen

Kuvitellaan, että aiemmin esitetyssä Nato-kysymyksessä on vain kaksi vaihtoehtoa eli vastaajat ovat joko jäsenyyden kannalla tai sitä vastaan. Vastaajista 45 % kannatti ja 55 % vastusti jäsenyyttä. Nyt tehtävänä on selvittää, millä välillä perusjoukon Nato-kannatus on tietyllä varmuudella. Kun vaihtoehtoja on vain kaksi, saadaan tulos käyttämällä seuraavaa kaavaa:

Kaavassa S tarkoittaa mielenkiinnon kohteena olevan tunnusluvun keskivirhettä (eli sen otantajakauman keskihajontaa), p on 'kyllä' vastanneiden prosenttiosuus, q on 'ei' vastanneiden prosenttiosuus ja n on otoksen koko. Sijoittamalla luvut (p=45, q=55, n=1000) kaavaan saadaan keskivirheen arvoksi noin 1,57. Tätä lukua voidaan käyttää hyväksi määriteltäessä Nato-kannatuksen luottamusväli perusjoukossa.

Nato-kannatuksen 95 %:n luottamusväli saadaan kaavasta p ± 1,96*S eli 45 ± 1.96*1,57. Tämä väli on 41,9 %-48,1 %. Eli johtopäätöksenä tutkija voisi todeta, että suomalaisten Nato-kannatus on 95 %:n prosentin todennäköisyydellä 41,9 % ja 48,1 % välillä. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että jos suomalaisista otettaisiin hyvin suuri määrä 1000 hengen otoksia, 95 % näistä otoksista Nato-kannatus olisi edellä mainitulla välillä. Jos luottamustasoksi valitaan 99 %, kasvaa myös luottamusväli. Tällöin väli saadaan kaavasta p ± 2,58*S eli se olisi 40,9 %-49,1 %. Edelliset kertoimet (1,96 ja 2,58) saadaan normaalijakaumasta. Se, miten ne on johdettu, selitetään tilastotieteen oppikirjoissa, joten tässä yhteydessä siihen ei paneuduta syvemmin. Hyvä muistisääntö on, että 95 %:n luottamusväli saadaan noin ±2*keskivirhe, ja 99 %:n prosentin luottamustasolla vastaava kerroin on noin 2,5.

Jos kiinnostuksen kohteena on jonkin muuttujan keskiarvo, saadaan sen keskivirhe (standard error of the mean) kaavasta:

Kaavassa S on keskiarvon keskivirhe, s on otoksesta laskettu muuttujan keskihajonta ja n on otoskoko. Keskiarvon keskivirhettä käytetään samalla tavalla kuin edellisessä esimerkissä.

Esimerkkinä keskiarvon keskivirheen käytöstä voidaan käyttää vuoden 1996 World Values -kyselyn Suomen osa-aineiston (ks. osaWVS-aineiston koodikirjasta frekvenssit) kysymystä v123, jossa vastaajia pyydettiin arvioimaan itseään vasemmisto-oikeisto -mittarilla. Tässä mittarissa oli arvoja yhdestä kymmeneen, ja pienet luvut kuvastivat vasemmistolaisuutta ja suuret luvut oikeistolaisuutta. Etukäteen voidaan arvioida, että suomalaisten keskiarvo mittarilla on jossain sen keskivaiheilla, eli arvon 5,5 lähettyvillä. Seuraavaksi tutkitaan, eroaako suomalaisten keskiarvo tilastollisesti merkitsevästi tästä luvusta.

Kyselyn vastaajista 856 suostui sijoittamaan itsensä vasemmisto-oikeisto -ulottuvuudelle. Keskiarvo oli 5,61 eli keskimäärin suomalaiset vaikuttaisivat olevan hiukan keskipisteen "oikeammalla" puolella. Otoksesta laskettu muuttujan keskihajonta oli 1,92. Käyttämällä edellä esiteltyä keskiarvon keskivirheen kaavaa, saadaan keskivirheen arvoksi 0,19 (=1,92/856). Samoin kuin edellisessä esimerkissä voidaan 95 %:n luottamusväli suomalaisten keskimääräiselle sijoittumiselle oikeisto-vasemmisto -ulottuvuudella laskea kaavasta 5,61 ± 1,96*0,19 eli se on 5,24 - 5,98. Koska luku 5,5 sijoittuu tämän luottamusvälin sisään, johtopäätös on, että suomalaisten keskimääräisen poliittisen sijoittumisen ei voida sanoa eroavan 95 %:n varmuudella laskennallisesta keskipisteestä. Lukijan tulkintojen varaan jääköön se, mitä tämä kertoo ulottuvuuden kyvystä kuvata suomalaista puoluejärjestelmää.

Otoksen ja perusjoukon suuruuden merkitys

Edellä esitettyä keskiarvon keskivirheen kaavaa voidaan käyttää hyväksi tarkasteltaessa otoskoon merkitystä tilastollisessa päättelyssä. Kaavassa on jakajana otoskoon neliöjuuri. Tämä tarkoittaa sitä, että otoskoon kasvaessa keskivirhe pienenee ja valitun luottamustason luottamusvälit kapenevat. Toisin sanoen tämä vahvistaa sinänsä intuitiivisestikin selvän havainnon, että otoskoon kasvaessa pystytään tekemään tarkempia arvioita kiinnostuksen kohteena olevista ilmiöistä. Koska kaavassa on jakajana otoskoon neliöjuuri, ei otoskoon kasvulla ja tarkentuneilla perusjoukon estimaateilla ole kuitenkaan lineaarista yhteyttä. Neliöjuuren takia täytyy otoskoko nelinkertaistaa, jotta luottamusväli pystyttäisiin pienentämään puoleen.

Toinen (ja vaikeammin intuitiivisesti ymmärrettävä) havainto on se, että perusjoukon koolla ei ole vaikutusta tilastollisten yleistysten tarkkuuteen. Edellä esitellyssä keskiarvon keskivirheen kaavassa ei ole perusjoukon koko mukana. Tämä tarkoittaa karkeasti ottaen sitä, että samankokoisilla otoksilla voidaan arvioida samoja ilmiöitä väestömäärältään erikokoisissa valtioissa jokseenkin samalla tarkkuudella. Tämä huomioiden ei ole yllättävää, että esimerkiksi presidenttiehdokkaiden kannatusmittaukset tehdään sekä Suomessa että Yhdysvalloissa suurin piirtein samanlaisilla otoskooilla (1000-2000 vastaajaa). Koska molemmissa maissa kyselyiden tilaajat ovat valmiita hyväksymään saman tarkkuustason valtakunnallisissa tuloksissa, ei Yhdysvalloissa olisi järkevää lähteä tekemään tutkimuksia paljon suuremmilla otoksilla kuin Suomessa.